Question

14．设a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）的定义域为[a+3，a+4]．
（1）讨论函数f（x）的单凋性；
（2）若f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数的含义得出x＞3a，利用定义域得出a+3＞3a，得出a的范围，利用复合函数的单调性判断即可；
（2）根据函数的单调性与不等式的恒成立得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜\frac{3}{2}}\\{f（a+4）≤1}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{f（a+3）≤1}\end{array}\right.$②求解即可得出a的范围．

解答 解：（1）∵设a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）
∴x＞2a，且x＞3a，
即x＞3a，
∵定义域为[a+3，a+4]．
∴a+3＞3a，
a＜$\frac{3}{2}$，
当1＜a$＜\frac{3}{2}$时，函数f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）单调递增，
当0＜a＜1时，函数f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）单调递减
（1）∵f（x）≤1恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜\frac{3}{2}}\\{f（a+4）≤1}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{f（a+3）≤1}\end{array}\right.$②
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜\frac{3}{2}}\\{（4-a）（4-2a）≤a}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{（3-a）（3-2a）≥a}\end{array}\right.$②
$\frac{13-\sqrt{41}}{4}$$＜a＜\frac{13+\sqrt{41}}{4}$，
∵$\frac{13-\sqrt{41}}{4}$$＞\frac{3}{2}$
∴①无解；
∵（3-a）（3-2a）≥a即a$≥\frac{5+\sqrt{7}}{2}$或a$≤\frac{5-\sqrt{7}}{2}$
∴②的解集为：0＜a＜1
综上：实数a的取值范围0＜a＜1

点评 本题考查了复合函数的单调性，不等式的恒成立问题，关键是利用单调性得出最值，转化为不等式组．