Question

现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：

投资结果	获利40%	不赔不赚	亏损20%
概  率	1 2	1 8	3 8

（2）购买基金：

投资结果	获利20%	不赔不赚	亏损10%
概  率	p	1 3	q

（Ⅰ）当p=

1

4

时，求q的值；
（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于

4

5

，求p的取值范围；
（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p=

1

2

，q=

1

6

，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．

Answer 1

考点：互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）根据p+

1

3

+q=1解出即可；（Ⅱ）设出各个事件后得C=A

.

B

∪

.

A

B∪AB，根据P(C)=

1

2

+

1

2

p＞

4

5

，p+

1

3

+q=1，从而求出P的范围；
（Ⅲ）分别求出EX，EY在值，通过比较得到结论．

解答： （Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
所以p+

1

3

+q=1．…（2分）
又因为p=

1

4

，
所以q=

5

12

．                                          …（3分）
（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事
件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，…（4分）
则C=A

.

B

∪

.

A

B∪AB，且A，B独立．
由上表可知，P(A)=

1

2

，P（B）=p．
所以P(C)=P(A

.

B

)+P(

.

A

B)+P(AB)…（5分）
=

1

2

×(1-p)+

1

2

×p+

1

2

×p=

1

2

+

1

2

p．…（6分）
因为P(C)=

1

2

+

1

2

p＞

4

5

，
所以p＞

3

5

．…（7分）
又因为p+

1

3

+q=1，q≥0，
所以p≤

2

3

．
所以

3

5

＜p≤

2

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），
所以随机变量X的分布列为：

X	4	0	-2
P	1 2	1 8	3 8

…（9分）
则EX=4×

1

2

+0×

1

8

+(-2)×

3

8

=

5

4

．…10 分
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），
所以随机变量Y的分布列为：

Y	2	0	-1
P	1 2	1 3	1 6

…（11分）
则EY=2×

1

2

+0×

1

3

+(-1)×

1

6

=

5

6

．…（12分）
因为EX＞EY，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（13分）

点评：本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，是一道基础题．