Question

设函数f（x）=

|x-a|，x≤1 log3x，x＞1.

（1）如果f（1）=3，那么实数a=

 

；
（2）如果函数y=f（x）-2有且仅有两个零点，那么实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据分段函数的表达式，解方程f（1）=3，即可；
（2）根据方程和函数之间的关系，进行转化即可得到结论．

解答： 解：（1）如果f（1）=3，则f（1）=|1-a|=3，解得a=-2或4，
（2）当x＞1由f（x）-2=0得f（x）=2，即log₃x=2，解得x=9，
若函数y=f（x）-2有且仅有两个零点，则等价为当x≤1时，|x-a|=2只有一个交点，
由|x-a|=2，解得x=a+2或x=a-2，
若当x≤1时，|x-a|=2只有一个根，
则满足a+2＞1且a-2≤1，
即a＞-1且a≤3，
即-1＜a≤3．
故答案为：-2或4；（-1，3]．

点评：本题主要考查分段函数的应用，根据函数零点和函数之间的关系是解决本题的关键．