题目内容
15．等比数列{an}中，公比q＞0，Sn为其前n项和，S2=3，S4=15．（1）求an；
（2）记数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn．
分析 （1）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．
解答 解：（1）若q=1，则S4=2S2，与已知矛盾，∴q≠1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{S_2}=\frac{{{a_1}（1-{q^2}）}}{1-q}=3\\{S_4}=\frac{{{a_1}（1-{q^4}）}}{1-q}=15\end{array}\right.$
又q＞0，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ q=2\end{array}\right.$
∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（2）由（1），可以求得${S_n}={2^n}-1$，
于是${T_n}={2^1}-1+{2^2}-1+…+{2^n}-1={2^1}+{2^2}+…+{2^n}-1-1-…-1$=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n={2^{n+1}}-n-2$．
点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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5．
由半椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0）与半椭圆$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0．由右椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0）的焦点F0和左椭圆$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x≤0）的焦点F1，F2确定的△F0F1F2叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0）的离心率的取值范围为（ ）
由半椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0）与半椭圆$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0．由右椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0）的焦点F0和左椭圆$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x≤0）的焦点F1，F2确定的△F0F1F2叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0）的离心率的取值范围为（ ）| A． | （$\frac{1}{3}$，1） | B． | （$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1） | C． | （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1） | D． | （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$） |
6．若不等式4x3-3x2+$\frac{1}{4}$≥k对任意的x∈[0，2]都成立，则实数k的最大值为（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 2 | C． | 0 | D． | 1 |
3．若长轴长为2a，短轴长为2b椭圆的面积为πab，则$\int_{-3}^3{\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}}dx$=（ ）
| A． | 4π | B． | 2π | C． | 3π | D． | $\frac{3π}{2}$ |
4．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，如表为抽样实验的结果
（1）已知y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
（2）在实际生活中，预测每小时的产品中有缺点的零件为92个时，机器运转速度是多少．
（参考数值$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=1380$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=145$）
| 转速x（转/秒） | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| 每小时生产有缺点的零件数y（件） | 10 | 30 | 60 | 50 | 80 |
（2）在实际生活中，预测每小时的产品中有缺点的零件为92个时，机器运转速度是多少．
（参考数值$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=1380$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=145$）