Question

5．由半椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0）与半椭圆$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0．由右椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0）的焦点F₀和左椭圆$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x≤0）的焦点F₁，F₂确定的△F₀F₁F₂叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0）的离心率的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，1）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 根据“果圆”关于x轴对称，得到△F₁F₀F₂是以F₁F₂为底面的等腰三角形，从而可得：若△F₀F₁F₂为锐角三角形，则|0F₀|＞|0F₁|．由此建立关于a、b、c的不等式，结合椭圆离心率的公式与离心率的取值范围解此不等式，即可算出右椭圆离心率的取值范围．

解答 解：连结F₀F₁、F₀F₂，根据“果圆”关于x轴对称，可得△F₁F₀F₂是以F₁F₂为底面的等腰三角形，
∵△F₀F₁F₂是锐角三角形，
∴等腰△F₀F₁F₂的顶角为锐角，即∠F₁F₀F₂∈（0，$\frac{π}{2}$）．
由此可得|0F₀|＞|0F₁|，
∵|0F₀|、|0F₁|分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0），$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x≤0）的半焦距，
∴c＞$\sqrt{{b}^{2}-{c}^{2}}$，平方得c²＞b²-c²，
又∵b²=a²-c²，
∴c²＞a²-2c²，解得：3c²＞a²，
∴3•（$\frac{c}{a}$）²＞1，解之得$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵右椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（x≥0）的离心率e=$\frac{c}{a}$∈（0，1），
∴离心率e的范围为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）．
故答案选：C

点评 本题给出“果圆”满足的条件，考查椭圆离心率的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、不等式的解法等的综合应用，属于中档题．