Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且S_n=n²+

1

2

n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2ⁿ，设c_n=

an+ 1 2

bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据a_n与S_n的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出c_n=

an+ 1 2

bn

的通项公式，利用错位相减法即可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解（1）n=1时，a1=S1=

3

2

，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-

1

2

，
检验，上式对n=1成立．
∴an═2n-

1

2

．
（2）∵b_n=2ⁿ，
∴cn=

an+ 1 2

bn

=

2n

2n

=n•(

1

2

)n-1，
Tn=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1  ①，

1

2

Tn=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n  ②
①-②，得：

1

2

Tn=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，
整理得：Tn=4-(2n+4)•(

1

2

)n．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是解决本题的关键，要求熟练掌握错位相减法．