Question

已知动圆M与直线l：x=-

1

2

相切且与圆F：(x-1)2+y2=

1

4

外切．
（1）求圆心M的轨迹C方程；
（2）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A，B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：∠AED=∠BED．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x，y），由|MF|-(x+

1

2

)=

1

2

，由此能求出圆心的轨迹C的方程．
（2）设直线l的方程为x=ty+m（m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，x₂），则A，B两点的坐标满足方程组：

x=ty+m y2=4x

，去并x整理，得y²-4ty-4m=0，y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m，由此结合已知条件能证明：∠AED=∠BED．

解答： 解：（1）设M（x，y），
∵动圆M与直线l：x=-

1

2

相切且与圆F：(x-1)2+y2=

1

4

外切，
∴|MF|-(x+

1

2

)=

1

2

，
∴|MF|=x+1，∴

(x-1)2+y2

=x+1，
整理，得y²=4x．
∴圆心M的轨迹C方程为y²=4x．…（5分）
（2）依题意，设直线l的方程为x=ty+m（m＞0），
A（x₁，y₁），B（x₂，x₂），
则A，B两点的坐标满足方程组：

x=ty+m y2=4x

，
消去并x整理，得y²-4ty-4m=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m…（7分）
设直线AE和BE的斜率分别为k₁，k₂，
则：k1+k2=

y1

x1+m

+

y2

x2+m

=

y1(x2+m)+y2(x1+m)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1 y 2 2 + 1 4 y2 y 2 1 +m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 y1y2(y1+y2)+m(y1+y2)

(x1+m)(x2+m)

=

1 4 (-4m)(4t)+4mt

(x1+m)(x2+m)

=0…(11分)
∴tan∠AED+tan∠（180°-∠BED）=0，
∴tan∠AED=tan∠BED，
∵0＜∠AED＜

π

2

，0＜∠BED＜

π

2

∴∠AED=∠BED…(13分)

点评：本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查两角相等的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程、直线方程、抛物线方程等知识点的合理运用．