Question

2．已知函数f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1）满足f（x+y）=f（x）•f（y）且f（3）=8．
（1）求a，b的值．
（2）若方程|f（x）-1|=m的有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数性质列方程求出a，b；
（2）作出函数图象，根据图象判断m的范围．

解答 解：（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y），
∴a^x+y+b=a^x+b•a^y+b=a^x+y+2b，
∴x+y+b=x+y+2b
∴b=0，
∴f（3）=a³=8，解得a=2．
（2）令g（x）=|f（x）-1|=|2^x-1|，
作出g（x）的函数图象如图所示：

∵方程|f（x）-1|=m的有两个不同的解，
由图可知0＜m＜1．

点评 本题考查了函数的性质，方程的根与函数图象的关系，属于基础题．