Question

12．已知P为曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=3cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数，0≤θ≤π）上一点，O为坐标原点，若直线OP的倾斜角为$\frac{π}{4}$，则P点的坐标为$（{\frac{12}{5}，\frac{12}{5}}）$．

Answer 1

分析 设P（3cosθ，4sinθ），由直线OP的倾斜角为$\frac{π}{4}$，得tan$\frac{π}{4}$=$\frac{4sinθ}{3cosθ}$=1，0≤θ≤π，从而sinθ=$\frac{3}{4}cosθ$＞0，由sin²θ+cos²θ=$\frac{9}{16}co{s}^{2}θ+co{s}^{2}θ$=1，得到sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，由此能求出P点坐标．

解答 解：∵P为曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=3cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数，0≤θ≤π）上一点，O为坐标原点，
∴P（3cosθ，4sinθ），
∵直线OP的倾斜角为$\frac{π}{4}$，
∴tan$\frac{π}{4}$=$\frac{4sinθ}{3cosθ}$=1，0≤θ≤π，即sinθ=$\frac{3}{4}cosθ$＞0，
∵sin²θ+cos²θ=$\frac{9}{16}co{s}^{2}θ+co{s}^{2}θ$=1，
解得sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，∴P$（{\frac{12}{5}，\frac{12}{5}}）$．
故答案为：$（{\frac{12}{5}，\frac{12}{5}}）$．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查参数方程、同角三角函数关系式、直线的斜率公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．