Question

17．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场．若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．
（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；
（2）若从A、B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）利用相互独立事件与古典概率计算公式即可得出．
（2）X可能的取值为0，1，2，3，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学期望．

解答 解：（1）设“选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件M，
则$P（M）=\frac{C_7^2C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{21}{40}$，
答：选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为$\frac{21}{40}$．…（3分）
（2）X可能的取值为0，1，2，3，$P（X=0）=\frac{C_4^2C_3^2}{C_5^2C_5^2}=\frac{9}{50}$，$P（X=1）=\frac{C_1^1C_4^1C_3^2+C_4^2C_2^1C_3^1}{C_5^2C_5^2}=\frac{12}{25}$，$P（X=3）=\frac{C_1^1C_4^1C_2^2}{C_5^2C_5^2}=\frac{1}{25}$，
故$P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=\frac{3}{10}$．
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{9}{50}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$

…（8分）
所以X的数学期望$E（X）=0×\frac{9}{50}+1×\frac{12}{25}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{25}=\frac{6}{5}$．…（10分）

点评 本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．