Question

“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的（　　）条件．

• A、充分必要
• B、充分不必要
• C、必要不充分
• D、既不充分也不必要

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：数系的扩充和复数

分析：ac=bd时，（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i=（ad+bc）i，该复数不一定是纯虚数，当ad+bc=0时就不是；若“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”时，（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i，所以ac=bd，所以得到“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要不充分条件．

解答： 解：（1）若ac=bd，则（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i=（ad+bc）i，而（ad+bc）i不一定是纯虚数，当ad+bc=0时就不是；
∴“ac=bd”不是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的充分条件；
（2）若复数a+bi与c+di的积是纯虚数，则由（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i得：
ac-bd=0，即ac=bd；
∴“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要条件；
综上得“ac=bd”是“复数a+bi与c+di的积是纯虚数”的必要不充分条件．
故选C．

点评：考查复数的概念，纯虚数的概念，复数的乘法运算，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．