Question

已知函数f（x）=

a•3x+a-2

3x+1

，函数f（x）为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若解不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的性质f（0）=0即可得出；
（2）f（x）在R上单调递增．利用增函数的定义即可得出．
（3）利用函数奇偶性单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（0）=

a+a-2

30+1

=0．
解得a=1．
（2）∵f（x）=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

，∴f（x）在R上单调递增．
证明如下：?x₁＜x₂，0＜3x1＜3x2，
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

3x1+1

-(1-

2

3x2+1

)=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上单调递增．
（3）不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0，
化为不等式f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m）．
∴3m²-m+1＜3-2m，
化为3m²+m-2＜0，
解得-1＜m＜

2

3

．
∴不等式的解集为{x|-1＜m＜

2

3

}．

点评：本题考查了函数奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．