Question

已知数列{an}中，a1=2，其前n项和为Sn，满足

Sn+1

=

Sn

+

2

．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{bn}满足bn=

2

Sn+1-2

，数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（I）先证明{

Sn

}是以

S1

=

2

为首项，

2

为公差的等差数列，可得S_n=2n²，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求数列{a_n}的通项公式；
（II）利用裂项法求和，即可证得结论．

解答： （I）解：∵

Sn+1

=

Sn

+

2

∴

Sn+1

-

Sn

=

2

∴{

Sn

}是以

S1

=

2

为首项，

2

为公差的等差数列
∴

Sn

=

2

+

2

•(n-1)=

2

n
∴S_n=2n²
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-2；当n=1时，a₁=2也满足
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-2；
（II）证明：由（I）知bn=

1

n2-2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）＜

3

4

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，属于中档题．