Question

已知函数f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[

π

4

，

3π

2

]上的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,复合三角函数的单调性

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换将f（x）转化为f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）-

1

2

，即可求其最小正周期及单调递减区间；
（2）由

π

4

≤x≤

3π

2

，可求得x+

π

4

的范围，利用正弦函数的性质即可求得其最小值．

解答： 解：（1）f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+

1+cosx

2

-1
=

1

2

sinx+

1

2

cosx-

1

2

…（2分）
=

2

2

sin（x+

π

4

）-

1

2

．…（4分）
所以函数f（x）的最小正周期为2π．…（6分）
由2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得：2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈Z，
函数f（x）单调递减区间是[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z．…（9分）
（2）由

π

4

≤x≤

3π

2

，得

π

2

≤x+

π

4

≤

7π

4

，…（11分）
则当x+

π

4

=

3π

2

，即x=

5π

4

时，f（x）取得最小值-

2 +1

2

．…（13分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．