Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=25，圆O₁的圆心为O₁（m，0）且与圆O交于点P（3，4），过点P且斜率为（k≠0）的直线l分别交圆O，O₁于点A，B．
（1）若k=1，且BP=7

2

，求圆O₁的方程；
（2）过点P作垂直于直线l的直线l₁分别交圆O，O₁于点C，D．当m为常数时，试判断AB²+CD²是否是定值？若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）通过K=1，BP=7

2

，利用圆心到直线的距离与半径半弦长的关系，求出m的值，然后求圆O₁的方程；
（2）设出A、B、C、D四点坐标，设出直线AB方程，通过方程组求出x₁，x₂，利用弦长公式求出AB，CD然后求出它们的和，即可判断是否是定值．

解答： 解：（1）K=1时，直线l：y-4=x-3，即x-y+1=0，
由题意得：(

|m+1|

2

)2+(

7 2

2

)2=(m-3)2+42，
整理得，m²-14m=0，解得m=14或m=0（舍去），
所以圆O₁的方程为（x-14）²+y²=137．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
直线l：y-4=k（x-3），即y=kx-（3k-4），
由

y=kx-(3k-4) x2+y2=25

消去y得，（k²+1）x²+（8k-6k²）x+9k²-24k-9=0，
由韦达定理得3x₁=

9k2-24k-9

k2+1

，
得x₁=

3k2-8k-3

k2+1

．
由

y=kx-(3k-4) (x-m)2+y2=(m-3)2+16

消去y得，（k²+1）x²+（8k-6k²-2m）x+9k²-24k-9+6m=0，
由韦达定理得3x₂=

9k2-24k-9+6m

k2+1

，
得x₂=

3k2-8k-3+2m

k2+1

．
所以，x₁-x₂=

2m

k2+1

，
AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（k²+1）（x₁-x₂）²=（k²+1）(

2m

k2+1

)2=

4m2

k2+1

．
同理可得，CD²=

4m2k2

k2+1

，
所以，AB²+CD²=

4m2

k2+1

+

4m2k2

k2+1

=4m² 为定值．

点评：本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，考查计算能力，转化思想．