Question

已知函数f（x）=|2x-a|+5x，其中实数a＞0．
（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥4x+6的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-2}，求a的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=|2x-3|+5x，通过对x取值范围的分类讨论，去掉不等式中的绝对值符号，再解不等式f（x）≥4x+6即可求得其解集；
（Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）通过对x取值范围的分类讨论，去掉不等式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；
法二：（从等价转化角度考虑），|2x-a|≤-5x，此不等式化等价于5x≤2x-a≤-5x，易解得

x≤- a 3 x≤ a 7 .

，不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-2}，从而可求得a的值

解答： 解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥4x+6可化为|2x-3|≥-x+6，2x-3≥-x+6或2x-3≤x-6．
由此可得x≥3或x≤-3．
故不等式f（x）≥4x+6的解集为{x|x≥3或x≤-3}．…（5分）
（Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）
由f（x）≤0，得|2x-a|≤-5x，此不等式化等价于

x≥ a 2 2x-a+5x≤0.

或

x＜ a 2 -(2x-a)+5x≤0.

解之得

x≥ a 2 x≤ a 7 .

或

x＜ a 2 x≤- a 3 .

因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤-

a

3

}，由题设可得-

a

3

=-2，故a=6．…（10分）
法二：（从等价转化角度考虑）
由f（x）≤0，得|2x-a|≤-5x，此不等式化等价于5x≤2x-a≤-5x，
即为不等式组

5x≤2x-a 2x-a≤-5x.

解得

x≤- a 3 x≤ a 7 .

因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤-

a

3

}，由题设可得-

a

3

=-2，故a=6．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查通过对x取值范围的分类讨论，去掉不等式中的绝对值符号，转化为相应的一次不等式来解，属于中档题．