Question

已知函数f（x）与F（x）满足F（x）=f（x）+2，且f（x）在R上是奇函数．
（Ⅰ）若F（-1）=8，求F（1）；
（Ⅱ）若F（x）在（0，+∞）上的最大值为5，那么在（-∞，0）上F（0）是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：解：（1）由f（-1）=-f（1）、F（1）=f（1）+2，F（-1）=f（-1）+2=8，得f（-1）=6，故f（1）=-6，F（1）=-6+2=-4
（2）若F（x）在（0，+∞）上的最大值为5则f（x）在（0，+∞）上的最大值为3，f（x）在（-∞，0）上的最小值为-3，
再由F（x）=f（x）+2在（-∞，0）上的最小值为-3+2=-1．

解答： 解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（-1）=-f（1）．
∵F（1）=f（1）+2，F（-1）=f（-1）+2，
∵F（-1）=f（-1）+2=8，∴f（-1）=6，∴f（1）=-6，
∴F（1）=-6+2=-4；
（2）若F（x）在（0，+∞）上的最大值为5，∴F（x）=f（x）+2在（0，+∞）上的最大值为5，
∴f（x）在（0，+∞）上的最大值为3，
∵f（x）为R上的奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上的最小值为-3，
∴F（x）=f（x）+2在（-∞，0）上的最小值为-3+2=-1，
F（x）在（-∞，0）上存在最小值，这个最小值为-1．

点评：本题主要考查函数的性质，考查了函数的奇偶性与单调性，属于基础题．