Question

已知点A为圆C：（x+2）²+（y-4）²=8上的动点，O为坐标原点，N为OA的中点．
（1）求动点N轨迹L的方程；
（2）若轨迹L的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（3）从轨迹L外一点P（x₁，y₁）向该轨迹引一条切线，切点为M，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）设点N（x，y），则点A（2x，2y），则由点A在圆C：（x+2）²+（y-4）²=8上，求得曲线L 的方程．
（2）分切线经过原点时，和切线不经过原点两种情况，根据圆心L（-1，2）到x+y-λ=0的距离等于半径，求出切线中的参数，可得圆L的切线方程．
（3）设P（x₁，y₁），由切线PM⊥CM，|PM|²=|PL|²-|LM|²，可得2x₁-4y₁+3=0，故动点P在直线2x-4y+3=0上，由已知|PM|_min=|PO|_min ，即原点到2x-4y+3=0的距离．
此时，由

x12+x22=( 3 5 10 )2 2x1-4y1+3=0

，求得点P的坐标．

解答： 解：（1）设点N（x，y），则点A（2x，2y），由点A在圆C：（x+2）²+（y-4）²=8上，
可得：（2x+2）²+（2y-4）²=8，即圆L：（x+1）²+（y-2）²=2．
（2）当切线经过原点时，设切线方程为y=kx，即 kx-y=0，
则由圆心L（-1，2）到kx-y=0的距离等于半径可得

|-k-2|

k2+1

=

2

，求得k=2+

6

，或 k=2-

6

，
故切线的方程为（2+

6

）x-y=0，或（2-

6

）x-y=0．
当切线不经过原点时，设切线方程为x+y-λ=0，再根据圆心L（-1，2）到x+y-λ=0的距离等于半径可得

|-1+2-λ|

2

=

2

，
求得λ=-1，或 λ=3，故圆L的切线方程为x+y+1=0，或 x+y-3=0．
（2+

6

）x-y=0，或（2-

6

）x-y=0，或x+y+1=0，或 x+y-3=0．
（3）设P（x₁，y₁），∵切线PM⊥CM，
∴|PM|²=|PL|²-|LM|²，∴（x1+1）2+（y1-2）2-2=x12+y12，化简得2x₁-4y₁+3=0，
所以动点P在直线2x-4y+3=0上，
由已知|PM|_min=|PO|_min=

|0-0+3|

22+42

=

3 5

10

，
则此时

x12+x22=( 3 5 10 )2 2x1-4y1+3=0

，解得

x1=- 3 10 x2= 3 5

，故点P（-

3

10

，

3

5

）．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．