Question

13．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{30}}{6}$
• B． $\frac{5\sqrt{30}}{4}$
• C． $\frac{5\sqrt{30}}{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{15}}{6}$

Answer 1

分析 三视图复原几何体是长方体的一个角，利用勾股定理，基本不等式，确定xy最大时AD的值，代入棱锥的体积公式计算可得．

解答 解：由三视图得几何体为三棱锥，其直观图如图
∴AD⊥BD，AD⊥CD，∴x²-5=25-y²，∴x²+y²=30，
∵2xy≤x²+y²=30，∴xy≤15，当x=y=$\sqrt{15}$时，取“=”，
此时，AD=$\sqrt{10}$，几何体的体积V=$\frac{1}{3}×\sqrt{10}×\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{15}=\frac{5\sqrt{30}}{6}$．
故选A．

点评 本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，利用基本不等式求xy最大时AD的值，是解答本题的关键．