Question

已知

a

=（

3

，cosωx），

b

=（sinωx，-1），（0＜ω＜3，x∈R）．函数f（x）=

a

•

b

，若将函数f（x）的图象的其中一个对称中心到对称轴的最小距离为

π

4

个单位．
（I）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（Ⅱ）若f(

α

2

)=

1

2

，(

π

6

＜α＜

2

3

π)，求sinα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数解析式的求解及常用方法,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据题意和向量的数量积运算化简f（x），由条件求出函数的周期在求ω的值，即求出函数的解析式，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；
（Ⅱ）把f(

α

2

)=

1

2

代入解析式化简得sin(α-

π

6

)=

1

4

，由α的范围和平方关系求出cos(α-

π

6

)的值，由sinα=sin[(α-

π

6

)+

π

6

]、两角差的正弦公式求值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=

a

•

b

=

3

sinωx-cosωx=2sin(ωx-

π

6

)，
因为其中一个对称中心到对称轴的最小距离为

π

4

个单位，
所以T=

2π

ω

=π，解得ω=2，
则f(x)=2sin(2x-

π

6

)，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得，
-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ(k∈Z)，
所以函数f（x）的单调增区间是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ](k∈Z)；

（Ⅱ）由f(

α

2

)=

1

2

得，2sin(α-

π

6

)=

1

2

，则sin(α-

π

6

)=

1

4

，
由

π

6

＜α＜

2

3

π得，0＜α-

π

6

＜

π

2

，
所以cos(α-

π

6

)=

1-sin2(α- π 6 )

=

15

4

，
则sinα=sin[(α-

π

6

)+

π

6

]=sin(α-

π

6

)cos

π

6

+cos(α-

π

6

)sin

π

6

=

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

3 + 15

8

．

点评：本题考查正弦函数的性质，数量积的运算，以及三角恒等变换的公式的应用，注意角之间的关系，即变角在求值中的应用．