Question

已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点是（2，0），M的离心率e=

1

2

，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点N（t，0）是一个动点，且（

NA

+

NB

）⊥

AB

，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的离心率以及顶点坐标，即可求椭圆M的标准方程；
（2）设点N（t，0）是一个动点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l：x=my+1（m∈R，m≠0），联立直线与椭圆方程组成方程组，利用韦达定理，结合（

NA

+

NB

）⊥

AB

，数量积为0，求实数t的表达式，然后求解取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．a=2，

c

a

=

1

2

，所以c=1，b²=a²-c²=3，
所以椭圆M的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l：x=my+1（m∈R，m≠0），

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

⇒（3m²+4）y²+6my-9=0．
由韦达定理得y₁+y₂=-

6m

3m2+4

．①
（

NA

+

NB

）⊥

AB

⇒|NA|=|NB|⇒（x₁-t）²+y₁²=（x₂-t）²+y₂²⇒（x₁-x₂）（x₁+x₂-2t）+（y₁²-y₂²）=0，
将x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入上式整理得，
（y₁-y₂）[（m²+1）（y₁+y₂）+m（2-2t）]=0．
由y₁≠y₂知（m²+1）（y₁+y₂）+m（2-2t）=0，
将①代入得t=

1

3m2+4

，
所以实数t∈（0，

1

4

）．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．