Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）（a，b，c∈R），且同时满足下列条件：①f（-1）=0；②对任意实数x，都有f（x）-x≥0；③当x∈（0，2）时，有f（x）≤（

x+1

2

）²．
（1）求f（1）；
（2）求a，b，c的值；
（3）当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=1，有f（1）-1≥0和f（1）≤（

1+1

2

）²=1，求出f（1）；
（2）由f（-1）=0，得a-b+c=0，①由f（1）=1得a+b+c=1②
联立①②可得b=a+c=

1

2

，再由f（x）-x≥0，即ax²+（a+c）x+c-x≥0，约束可得结果．
（3）把第（1）、（2）问的结果代入g（x），得出对称轴方程，由二次函数的单调性可求．

解答： 解：（1）由f（-1）=0，得a-b+c=0，①
令x=1，有f（1）-1≥0和f（1）≤（

1+1

2

）²=1，
∴f（1）=1．
（2）由f（1）=1得a+b+c=1②
联立①②可得b=a+c=

1

2

，
由题意知，对任意实数x，都有f（x）-x≥0，即ax²+（a+c）x+c-x≥0，
即ax²-

1

2

x+c≥0对任意实数x恒成立，于是

a＞0 △≤0

，即

a＞0 1 4 -4a≤0

，
∵c=

1

2

-a，
∴

a＞0 1 4 -2a+4a2≤0

⇒

a＞0 (2a- 1 2 )2≤0

，
∴2a-

1

2

=0，∴a=

1

4

∴c=

1

2

-a=

1

4

，
∴a=c=

1

4

，b=

1

2

．
（3）由（2）得：g（x）=f（x）-mx=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]
此抛物线的对称轴方程为x=-

2-4m

2

∵x∈[-1，1]时，g（x）是单调的，
∴|-

2-4m

2

|≥1，解得m≤0或m≥1．
∴m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数的有关性质，利用二次函数的对称轴、单调性解题是关键．