Question

3．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．
（1）若曲线${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}\right.（t$为参数）与曲线C₁相交于两点A，B，求|AB|；
（2）若M是曲线C₁上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值．

Answer 1

分析 （1）C₁：ρ=1化为直角坐标方程为${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}\right.（t$为参数）可化为${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），代入${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，化简得${t^2}+3\sqrt{2}t+4=0$，设A，B对应的参数为t₁，t₂，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．
（2）M（x，y）在曲线C₁上，设$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$为参数），可得（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令$sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，则$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，代入化简即可得出．

解答 解：（1）C₁：ρ=1化为直角坐标方程为${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}\right.（t$为参数）可化为${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），
代入${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，得${（1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}+{（2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=1$，化简得${t^2}+3\sqrt{2}t+4=0$，
设A，B对应的参数为t₁，t₂，则${t_1}+{t_2}=-3\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=4$，
∴$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}-{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{2}$．
（2）M（x，y）在曲线C₁上，设$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$为参数）
则（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，
令$sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，则$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，
那么$（x+1）（y+1）=\frac{{{t^2}-1}}{2}+t+1=\frac{1}{2}{t^2}+t+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{（t+1）^2}$，
∴$（x+1）{（y+1）_{max}}=\frac{1}{2}{（\sqrt{2}+1）^2}$．

点评 本题考查了直角坐标方程与极坐标方程互化、参数方程化为普通方程及其应用、直线与曲线相交弦长问题、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．