题目内容

10．为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：
患心肺疾病不患心肺疾病合计
男20525
女101525
合计302050
（1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽取6人，其中男性抽多少人？
（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，判断是否有99.5%的把握认为
患心肺疾病与性别有关？
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
右面的临界值表供参考：
（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}，其中n=a+b+c+d$）

分析 （1）根据分层抽样的方法，在患心肺疾病的人群中抽6人，先计算了抽取比例，再根据比例即可求出男性应该抽取人数．
（2）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，列出其一切可能的结果组成的基本事件个数，通过列举得到满足条件事件数，求出概率．
（3）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握认为心肺疾病与性别有关．

解答 解：（1）根据题意，在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为$\frac{6}{30}$=$\frac{1}{5}$，
又由在患心肺疾病的人群有男生20人，
则男性应该抽取20×$\frac{1}{5}$=4人，
（2）根据题意，在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，
则从6名学生任取2名的所有情况为：（A，B）、（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种情况，
其中恰有1名女生情况有：（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f），共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为$\frac{8}{15}$；
（3））∵K2=$\frac{50（20×15-10×5）^{2}}{25×25×30×20}$≈8.333，且P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．

点评 本题考查独立性检验的应用，涉及古典概型的计算与分层抽样方法，关键是熟练掌握利用独立性检验的方法判断变量相关的可靠性程度的方法．

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第二步，猜想：
数列{an}是递减（填递增、递减）数列．
第三步，证明：
因为${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，所以$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{3{a_n}+1}}{a_n}=\frac{1}{a_n}+$3．
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