Question

如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别于单位圆交于A，B两点，
（1）如果A、B两点的纵坐标分别为

4

5

、

12

13

，求cos（β-α）的值．
（2）已知点C（-1，

3

），记函数f（α）=

OA

•

OC

，求f（α）的值域．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义,平面向量数量积的运算,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求出有sinα、sinβ、cosα、cosβ的值，可得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα 的值．
（2）由条件利用两个向量的数量积公式求得f（x）=2sin（α-

π

6

），再根据α为锐角、正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）如果A、B两点的纵坐标分别为

4

5

、

12

13

，则有sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

，
结合α为锐角、β为钝角，可得cosα=

1-sin2α

=

3

5

，cosβ=-

1-sin2β

=-

5

13

，
∴cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=-

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．
（2）已知点C（-1，

3

），函数f（α）=

OA

•

OC

=（cosα，sinα）•（-1，

3

）=

3

sinα-cosα=2sin（α-

π

6

）．
由α为锐角，可得α-

π

6

∈（-

π

6

，

π

3

），sin（α-

π

6

）∈（-

1

2

，

3

2

），∴2sin（α-

π

6

）∈（-1，

3

），
 即f（α）的值域为（-1，

3

）．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两个向量的数量积公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．