Question

已知在△ABC中，∠A，

1

2

∠B，∠C成等差数列，最大边长为x，最小边长为1
（Ⅰ）求sinA+sinC的最大值；
（Ⅱ）用λ（x）表示△ABC的周长与面积的比，求λ（x）的值域．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由等差中项的性质和内角和定理求出B，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简sinA+sinC，利用角的范围和正弦函数的性质，求出式子的最大值；
（Ⅱ）由题意求出三角形的第三边，求出λ（x）的表达式，利用分离常数法求出λ（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）因为∠A，

1

2

∠B，∠C成等差数列，
所以2×

1

2

∠B=∠A+∠C，则∠B=∠A+∠C，
又∠A+∠B+∠C=π，所以∠B=

π

2

，
则sinA+sinC=sinA+sin（

π

2

-A）=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)，
因为0＜A＜

π

2

，所以

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，
当A+

π

4

=

π

2

时，即A=

π

4

，sinA+sinC取到最大值是

2

；
（Ⅱ）因为∠B=

π

2

，且最大边长为x，最小边长为1，
所以另外一条直角边为

x2-1

（x＞1），
则λ（x）=

1+x+ x2-1

1 2 ×1× x2-1

=2（

1+x+ x2-1

x2-1

）=2（1+

1+x

(x+1)(x-1)

）
=2（1+

x+1 x-1

）=2（1+

x-1+2 x-1

）=2（1+

1+ 2 x-1

）＞4，
所以λ（x）的值域是（4，+∞）．

点评：本题考查等差中项的性质，内角和定理，诱导公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质，考查分离常数法化简函数解析式，比较综合．