Question

20．为了解今年某校高三毕业班想参军的学生体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为24．
（Ⅰ）求该校高三毕业班想参军的学生人数；
（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高三毕业班想参军的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）由频率分布直方图先求出前3个小组的频率，从而得到第2小组的频率，由此能求出高三毕业班想参军的学生人数．
（II）根据X服从二项分布，$P（X=k）=C_2^k{（\frac{5}{8}）^k}{（\frac{3}{8}）^{3-k}}$，K=0，1，2，3求解分布列，数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：
前3个小组的频率为：1-（0.013+0.037）×5=0.75，
所以第1小组的频率为$\frac{1}{6}$×0.75=0.125，
第2小组的频率为$\frac{2}{6}$×0.75=0.25，
第3小组的频率为$\frac{3}{6}$×0.75=0.5，
所以该校高三毕业班想参军的学生人数是24÷0.25=96．
（Ⅱ）分布列见解析，$\frac{15}{8}$．
（Ⅱ）由（1）可得，一个想参军的学生体重超过60公斤的概率为$p={p_3}+（0.037+0.013）×5=\frac{5}{8}$．

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{512}$	$\frac{45}{512}$	$\frac{75}{512}$	$\frac{125}{512}$

所以X服从二项分布，$P（X=k）=C_2^k{（\frac{5}{8}）^k}{（\frac{3}{8}）^{3-k}}$，K=0，1，2，3
∴随机变量X的分布列为 $E（X）=3×\frac{5}{8}=\frac{15}{8}$．

点评 本题考查该校高三毕业班想参军的学生人数的求法，解题时要注意频率分布直方图的合理运用，难度不大，属于中档题．