Question

4．设函数f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0），若曲线y=f（x）在各点处的切线斜率的最小值是-12，求：
（1）a的值；
（2）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；
（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2ax-9，
函数的对称轴是x=-$\frac{a}{3}$，开口向上，
故当$x=-\frac{a}{3}$时，f'（x）取得最小值，故$f'（{-\frac{a}{3}}）=-12$，
解得a=-3（正舍）；         
（2）由（1）得f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
故函数的增区间为（-∞，-1），（3，+∞），减区间为（-1，3）．

点评 本题考查了函数的极值的意义，考查函数的单调性问题，是一道中档题．