Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以

2

b为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程．
（2）若过椭圆C的右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且

MA

=λ1

AF，

MB

=λ2

BF

，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以

2

b为半径的圆的方程为（x-c）²+y²=2b²，圆心到直线x+y+1=0的距离d=

|c+1|

2

=

2

b，由此结合已知条件能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线L方程为y=k（x-1），代入椭圆方程得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明λ₁+λ₂=-4（定值）．

解答： 解：（Ⅰ）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以

2

b为半径的圆的方程为（x-c）²+y²=2b²，
∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=

|c+1|

2

=

2

b…*
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
b=c，代入*式得b=1
∴a=

2

b=

2

，
故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由题意：直线L的斜率存在，
∴设直线L方程为y=k（x-1），
则M（0，-k），F（1，0）
将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

…①…（8分）
由

MA

=λ1

AF，

MB

=λ2

BF

，∴x1 =λ1(1-x1)，x2 =λ2(1-x2)，
即：，λ1=

x1

1-x1

λ2=

x2

1-x2

…（10分）
λ1+λ2=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

x1+x2-2x1x2

1-x1-x2+2x1x2

=

4 1+2k2

-1 1+2k2

=-4
∴λ₁+λ₂=-4（定值）…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．