Question

已知椭圆x2+

y2

3

=1的上、下顶点分别为A₁和A₂，M（x₁，y）和N（-x₁，y）是椭圆上两个不同的动点．
（I）求直线A₁M与A₂N交点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F（0，2）的动直线z与曲线C交于A、B两点，

AF

=λ

FB

问在y轴上是否存在定点E，使得

OF

⊥（

EA

-λ

EB

）？若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出直线A₁M与A₂N的交点坐标，求出椭圆的两个顶点坐标，得到直线A₁M与A₂N的方程，两式作积后再由点M在椭圆上整体消掉M的坐标得直线A₁M与A₂N交点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，由已知可知其斜率一定存在，设其斜率为k，再设出A，B，E的坐标，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，再分别求出

AF

、λ

FB

、

OF

、

EA

、

EB

的坐标，结合已知

AF

=λ

FB

及

OF

⊥（

EA

-λ

EB

）即可求得E为定点．

解答： 解：（Ⅰ）设直线A₁M与A₂N的交点为P（x，y），
∵A₁，A₂是椭圆x2+

y2

3

=1的上、下顶点，
∴A1(0，

3

)，A2(0，-

3

)，
A₁M：y-

3

=

y1- 3

x1

x，A₂N：y+

3

=

y1+ 3

-x1

x，
两式相乘得y2-3=

y 2 1 -3

- x 2 1

x2    ①．
而M（x₁，y₁）在椭圆x2+

y2

3

=1（x₁≠0）上，
∴

x

2 1

+

y 2 1

3

=1，即

y 2 1 -3

- x 2 1

=3，
代入①得y²-3=3x²．
又当x=0时，不合题意，去掉顶点．
∴直线A₁M与A₂N的交点的轨迹C的方程是

y2

3

-x2=1(x≠0)；
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，由已知可知其斜率一定存在，设其斜率为k，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（0，y₀），
由

y=kx+2 y2 3 -x2=1

，得（k²-3）x²+4kx+1=0（k²≠3），
x1+x2=

-4k

k2-3

，x1x2=

1

k2-3

．

AF

=(-x1，2-y1)，

FB

=(x2，y2-2)，
∵

AF

=λ

FB

，∴-x₁=λx₂，
∵x₂≠0，∴λ=-

x1

x2

，
∵

OF

=(0，2)，

EA

=(x1，y1-y0)，

EB

=(x2，y2-y0)，

EA

-λ

EB

=(x1-λx2，y1-y0-λy2+λy0)，
又∵

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)，∴

OF

•(

EA

-λ

EB

)=0，
∴0×（x₁-λx₂）+2×（y₁-y₀-λy₂+λy₀）=0，
即y₁-y₀-λy₂+λy₀=0．
将y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，λ=-

x1

x2

代入上式并整理得2kx₁x₂+2（x₁+x₂）=（x₁+x₂）y₀，
当x₁+x₂≠0时，y0=

2kx1x2

x1+x2

+2=

2k k2-3

-4k k2-3

+2=

3

2

，
当x₁+x₂=0时，k=0，2kx₁x₂+2（x₁+x₂）=（x₁+x₂）y₀恒成立，
在y轴上存在定点E，使得

OF

⊥(

EA

-λ

EB

)，点E的坐标为(0，

3

2

)．

点评：本题考查了双曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线间的关系，涉及直线与圆锥曲线间的关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求解，本题着重考查了“设而不求”的解题思想方法，考查了学生的整体运算能力，是压轴题．