Question

已知直线l与函数f（x）=1n x的图象相切于点（1，0），且l与函数g（x）=

1

2

x²+mx+

7

2

（m＜0）图象也相切．
（1）求直线l的方程及m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x），求函数h（x）的最大值；
（3）当0＜a＜1时，求证：f（1+a）-f（2）＜

a-1

2

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由题意求导f′（x）=

1

x

，从而得到直线l的斜率，从而求直线l的方程，进而求m的值；
（2）化简h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2；求导确定函数的单调性，从而求最值；
（3）由（2）知：当-1＜x＜0时，h（x）＜2，当0＜a＜1时，-1＜

a-1

2

＜0，从而证明．

解答： 解：（1）由题意，f′（x）=

1

x

；
故f′（1）=1，
故直线l的方程为：y-0=x-1；
即x-y-1=0；
由x-y-1=0与y=

1

2

x²+mx+

7

2

联立消y可得，
x²+（2m-2）x+9=0，
则△=（2m-2）²-4×9=0；
解得，m=4或m=-2；
又∵m＜0，
∴m=-2．
（2）h（x）=f（x+1）-g′（x）
=ln（x+1）-x+2；
h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
故h（x）在（-1，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，
故h_max（x）=h（0）=2；
（3）证明：由（2）知：当-1＜x＜0时，h（x）＜2，
即ln（1+x）＜x，
当0＜a＜1时，
-1＜

a-1

2

＜0，
∴f（1+a）-f（2）=ln

1+a

2

=ln（1+

a-1

2

）＜

a-1

2

．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的切线的求法，同时考查了函数的单调性证明不等式，属于中档题．