Question

已知函数f（x）=

1

4

x4-ax²+2x（a∈R）．
（Ⅰ）若a=

3

2

，求函数f（x）极值；
（Ⅱ）设F（x）=f′（x）+（2a-1）x²+a²x-2，若函数F（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出f′（x），解f′（x）=0，讨论各区间的导数的符号判断极值点，求极值；
（Ⅱ）函数F（x）在[0，1]上单调递增”得到导数大于或者等于0恒成立，结合二次函数性质只要最小值大于或者等于0，即得a的范围．

解答： （Ⅰ）解：当a=

3

2

时，f'（x）=x³-3x+2=（x-1）²（x+2）=0，
解得：x=1或x=-2．…（2分）
∵当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＜0；
当x∈（-2，1）时，f'（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．…（4分）
∴f（x）的极小值为f（-2）=-6．…（5分）
（Ⅱ）由已知，F（x）=x³+（2a-1）x²+（a²-2a）x，
因为函数F（x）在[0，1]上单调递增，
所以F'（x）=3x²+（4a-2）x+a²-2a≥0在[0，1]上恒成立，…（7分）
即F′(x)=3(x+

2a-1

3

)2-

(a+1)2

3

．
（1）当对称轴x=

1-2a

3

∈(0，1)时，
只要-

(a+1)2

3

≥0，即a∈ϕ，…（9分）
（2）当对称轴x=

1-2a

3

≥1或x=

1-2a

3

≤0时，
只要

F′(0)≥0 F′(1)≥0.

即

a2-2a≥0 3+2(2a-1)+a2-2a≥0.

得a≤-1或a≥2．…（11分）
综上所述，a≤-1或a≥2．…（12分）
解法二：F（x）=x³+（2a-1）x²+（a²-2a）x，F'（x）=3x²+（4a-2）x+（a²-2a）=（3x+a-2）（x+a）．…（6分）
由已知得：F'（x）=（3x+a-2）（x+a）≥0在[0，1]上恒成立，…（8分）
当

2-a

3

=-a时，即a=-1时，符合题意；…（9分）
当

2-a

3

＞-a时，即a＞-1时，只须-a≥1或

2-a

3

≤0，
∴a≤-1或a≥2，∴a≥2；…（10分）
当

2-a

3

＜-a时，即a＜-1时，只须-a≤0或

2-a

3

≥1，
∴a≥0或a≤-1，∴a＜-1．…（11分）
综上所述，a≤-1或a≥2．…（12分）

点评：本题考查了函数极值的求法、根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数的最值及根据单调性求函数最值的方法，函数单调性和函数导数符号的关系．