Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值；
（3）求点C到平面A₁BD的距离．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知可取正三角形ABC的边BC的中点O，得到AO⊥平面BCC₁B₁．取B₁C₁中点O₁，以O为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
求出平面A₁BD内的两个向量的坐标，由数量积为0得到向量垂直，进一步得到线线垂直，则线面垂直；
（2）设出平面A₁AD的法向量，由数量积为0求解该法向量，结合（Ⅰ）可知

AB1

为平面A₁BD的法向量，然后直接由两向量所成角的余弦值得二面角A-A₁D-B的余弦值；
（3）直接由向量求点到平面的距离公式得答案．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．
∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
取B₁C₁中点O₁，以O为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（-1，1，0），A1(0，2，

3

)，A(0，0，

3

)，B₁（1，2，0），
∴

AB1

=(1，2，-

3

)，

BD

=(-2，1，0)，

BA1

=(-1，2，

3

)．
∵

AB1

•

BD

=-2+2+0=0，

AB1

•

BA1

=-1+4-3=0，
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

．
∴AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）解：设平面A₁AD的法向量为

n

=（x，y，z）．

AD

=(-1，1，-

3

)，

AA1

=(0，2，0)．
∵n⊥

AD

，n⊥

AA1

，
∴

n• AD =0 n• AA1 =0

，
∴

-x+y- 3 z=0 2y=0

，
∴

y=0 x=- 3 z

．
令z=1得平面A₁AD的一个法向量

n

=(-

3

，0，1)．

由（Ⅰ）知AB₁⊥平面A₁BD，
∴

AB1

为平面A₁BD的法向量．
cos＜n，

AB1

＞=

n• AB1

|n|•| AB1 |

=

- 3 - 3

2•2 2

=-

6

4

．
∴二面角A-A₁D-B的大小为θ，
∴cosθ=

6

4

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，

AB1

 为平面A₁BD法向量，
∵

BC

=(-2，0，0)，

AB1

=(1，2，-

3

)．
∴点C到平面A₁BD的距离d=

| BC • AB1 |

| AB1 |

=

|-2|

2 2

=

2

2

．

点评：本题考查了空间直线与平面垂直的判断，考查了空间中点到平面的距离计算，训练了利用向量求解空间角和距离问题，是中档题．