Question

17．设直角坐标系xoy平面内的三点A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）．其中a＞0，b＞0．若A，B，C三点共线．则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 A，B，C三点共线．利用向量共线定理可得：存在实数λ使得$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{AC}$，化为2a+b=1．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵A，B，C三点共线．∴存在实数λ使得$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{AC}$，
∴2（a-1）+（b+1）=0，化为：2a+b=1．
又a＞0，b＞0．
则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{4a}{b}}$=8，当且仅当b=2a=$\frac{1}{2}$时取等号．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量共线定理、基本不等式的性质、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．