Question

已知等比数列{a_n}的公比q=3，前3项的和S₃=

13

3

．
（1）求等比数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=3na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

a1(1-33)

1-3

=

13

3

，由此能求出a_n=

1

3

×3n-1=3^n-2．
（2）由b_n=3na_n=n•3^n-1，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵等比数列{a_n}的公比q=3，前3项的和S₃=

13

3

，
∴

a1(1-33)

1-3

=

13

3

，解得a1=

1

3

，
∴a_n=

1

3

×3n-1=3^n-2．
（2）∵b_n=3na_n=n•3^n-1，
∴Tn=1•30+2•3+3•32+…+n•3n-1，①
3T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ
=

1-3n

1-3

-n•3n
=（

1

2

-n）•3ⁿ-

1

2

，
∴T_n=（

n

2

-

1

4

）•3ⁿ+

1

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．