Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC，
（1）求角C的值；
（2）若△ABC的面积为S=

3

4

c，且a+b=2c，求边长c的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．
（2）根据余弦定理求得a和b的关系式，通过三角形的面积求出abc的关系，结就求出c即可．

解答： （本题满分14分）
解：（1）由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，故cosC=

1

2

，所以C=

π

3

．
（2）△ABC的面积为S=

3

4

c=

1

2

absinC=

1

4

ab，ab=c
cosC=

1

2

=

a2+b2-c2

2ab

，
所以ab=a²+b²-c²．
由a+b=2c，可得a²+b²+2ab=4c²，即ab=c²，
∴c=1．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，正弦定理的应用，两角和公式的化简求值．综合考查了学生的基础知识的掌握．