Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a₃=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S_k=110，求k的值；
（3）设数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求T₂₀₁₃的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列的首项，由已知列式求得公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）直接由等差数列的前n项和求得k的值；
（3）利用裂项相消法求得数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵

a1=2 a3=a1+2d=6

，
∴d=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）∵Sk=ka1+

k(k-1)

2

d=2k+

k(k-1)

2

•2=k2+k=110．
解得k=10或k=-11（舍去）；
（3）∵Sn=

n(2+2n)

2

=n(n+1)，∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T2013=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2013

-

1

2014

)
=1-

1

2014

=

2013

2014

．

点评：本题考查了数列的求和，考查了裂项相消法，是中档题．