Question

已知f（x）=ax³+bx，且f（1）=3，f（2）=12，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（0），f（3）的值；
（3）判断函数f（x）的奇偶性，并证明结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件，建立方程求出a，b的值，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数的解析式直接求f（0），f（3）的值；
（3）根据函数f（x）的奇偶性的定义即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx，且f（1）=3，f（2）=12，
∴

a+b=3 8a+2b=12

，解得a=1，b=2，
则函数f（x）的解析式f（x）=x³+2x；
（2）∵f（x）=x³+2x，
∴f（0）=0，f（3）=33；
（3）∵f（x）=x³+2x，f（-x）=-x³-2x=-（x³+2x），
∴f（-x）=-f（x），
即函数f（x）是奇函数．

点评：本题主要考查函数解析式的求解，以及函数奇偶性的判断，求出函数的解析式是解决本题的关键．