Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直线PC与底面ABCD所成的角为45°，E、F分别是BC、PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）根据已知条件，容易得出AE⊥BC，AE⊥AD，而PA⊥平面ABCD，所以便可得到AE⊥平面PAD，所以得到AE⊥PD；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）可知AE，AD，PA三条直线两两垂直，所以可分别以这三条直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后分别设平面AEF，和平面ACF的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，

n2

=(x2，y2，z2)，可设菱形的边长为2，根据条件可求出向量

AE

，

AF

，

AC

的坐标，根据法向量和这三个向量的垂直关系即可求出

n1

，

n2

的坐标，所以求这两个向量夹角的余弦值就可得到二面角E-AF-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）BC=AB，∠ABC=60°，∴AE⊥BC，∴△ABC是等边三角形；
又E是BC中点，∴AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD；
PA⊥面ABCD，AE?平面ABCD，PA⊥AE，即AE⊥PA，AD∩PA=A；
∴AE⊥平面PAD，∴AE⊥PD；
（Ⅱ）以A为原点，

AE

、

AD

、

AP

分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系；
根据已知条件及图形知，∠PCA是直线PC与底面ABCD所成的角，∴∠PCA=45°，∴PA=AC；
设菱形ABCD的边长为2，∴A（0，0，0），E(

3

，0，0)，P（0，0，2），C(

3

，1，0)，F(

3

2

，

1

2

，1)；
设平面AEF的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，则

AE • n1 =0 AF • n1 =0

，

AE

=(

3

，0，0)，

AF

=(

3

2

，

1

2

，1)；
∴

3 x1=0 3 2 x1+ 1 2 y1+z1=0

令y₁=2得，∴

n1

=(0，2，-1)；
同理可得平面PAC的法向量

n1

=(-

3

，3，0)；
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 |•| n2 |

=

15

5

∴二面角E-AF-C的余弦值为

15

5

．

点评：考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及用向量的方法解决二面角的问题，平面法向量的概念，向量夹角的余弦公式．