Question

已知直线l₁：kx-y-4k+1=0过定点P，且直线l2：

x

a

+

y

b

=1 (a，b＞0)也过P点．
（1）求a+b的最小值；
（2）若l₁与圆C：x²+y²-8x+4y+16=0有且只有一个公共点，求l₁的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,恒过定点的直线

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）直线l₁：kx-y-4k+1=0可化为k（x-4）+（-y+1）=0，可得P的坐标，进而可得

4

a

+

1

b

=1（a＞0，b＞0），利用“1”的代换，结合基本不等式，可求a+b的最小值；
（2）根据l₁与圆C：x²+y²-8x+4y+16=0有且只有一个公共点，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求l₁的方程．

解答： 解：（1）直线l₁：kx-y-4k+1=0可化为k（x-4）+（-y+1）=0，
∴x=4，y=1，即直线l₁恒过定点P（4，1），
∵直线l2：

x

a

+

y

b

=1 (a，b＞0)也过P点，
∴

4

a

+

1

b

=1（a＞0，b＞0），
∴a+b=（a+b）（

4

a

+

1

b

）=5+

4b

a

+

a

b

≤5+2

4b a • a b

=9，当且仅当a=2b时取等号，
∴a+b的最小值为9；
（2）x²+y²-8x+4y+16=0可化为（x-4）²+（y+2）²=4．
∵l₁与圆C：x²+y²-8x+4y+16=0有且只有一个公共点，
∴d=

|4k+2-4k+1|

k2+1

=2，
∴

k2+1

=

3

2

，
∴k=±

5

2

，
∴l₁的方程为y-1=±

5

2

（x-4）．

点评：本题考查直线恒过定点，考查基本不等式的运用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．