Question

13．若${（{x^2}-\frac{1}{x^3}）^n}$的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 求得二项式展开式的通项公式，化简整理，再令x的指数为0，求得2n=5r，由n为正整数，可得r=2，n取得最小值．

解答 解：${（{x^2}-\frac{1}{x^3}）^n}$的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（x²）^n-r•（-$\frac{1}{{x}^{3}}$）^r
=${C}_{n}^{r}$•（-1）^r•x^2n-5r，r=0，1，2，…，n，
由题意可得2n-5r=0，
即n=$\frac{5r}{2}$，由n正整数，
可得r=2时，n取得最小值5．
故选：B．

点评 本题考查二项式定理的运用：求常数项，注意运用二项式展开式的通项公式，以及指数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．