Question

已知函数f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（a∈R）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当a＜0时，求函数f（x）在区间[

1

2

，1]上的最小值；
（3）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导函数，由a＞0，定义域为（0，+∞），再由f′（x）＞0求得函数f（x）的单调增区间；
（2）当a＜0时，求出导函数的零点-

1

2a

，1，分-

1

2a

＞1，

1

2

≤-

1

2a

≤1，-

1

2a

＜

1

2

讨论函数f（x）在区间[

1

2

，1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a的分段函数；
（3）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得到ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

，令

x2

x1

=t后构造函数g(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

 (t＞1)
由导数证明ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

不成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，
∴f′(x)=2ax+(1-2a)-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，
∵a＞0，x＞0，
∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
（2）当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=-

1

2a

，x₂=1，
①当-

1

2a

＞1，即-

1

2

＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，
∴f（x）在[

1

2

，1]上的最小值为f（1）=1-a．
②当

1

2

≤-

1

2a

≤1，即-1≤a≤-

1

2

时，
f（x）在[

1

2

，-

1

2a

]上是减函数，在[-

1

2a

，1]上是增函数，
∴f（x）的最小值为f(-

1

2a

)=1-

1

4a

+ln(-2a)．
③当-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1时，f（x）在[

1

2

，1]上是增函数，
∴f（x）的最小值为f(

1

2

)=

1

2

-

3

4

a+ln2．
综上，函数f（x）在区间[

1

2

，1]上的最小值为：
f(x)min=

1 2 - 3 4 a+ln2      a＜-1 1- 1 4a +ln(-2a)  -1≤a≤- 1 2 1-a                     - 1 2 ＜a＜0

（3）设M（x₀，y₀），则点N的横坐标为x0=

x1+x2

2

，
直线AB的斜率k1=

y1-y2

x1-x2

=

1

x1-x2

[a(x12-x22)+(1-2a)(x1-x2)+lnx2-lnx1]
=a(x1+x2)+(1-2a)+

lnx2-lnx1

x1-x2

，
曲线C在点N处的切线斜率k2=f′(x0)=2ax0+(1-2a)-

1

x0

=a(x1+x2)+(1-2a)-

2

x1+x2

，
假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k₁=k₂，
即

lnx2-lnx1

x1-x2

=-

2

x1+x2

，
∴ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

，
不妨设x₁＜x₂，

x2

x1

=t＞1，则lnt=

2(t-1)

1+t

，
令g(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

 (t＞1)，则g′(t)=

1

t

-

4

(1+t)2

=

(t-1)2

t(1+t)2

＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，
∴g（t）＞0，即lnt=

2(t-1)

1+t

不成立，
∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于（3）的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．