Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，
∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA，利用线面平行的判定定理可证；
（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．

解答： 解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．…（2分）
当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，
故MN∥PA，又MN?平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）
（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以V_P-BMQ=V_A-BMQ=V_M-ABQ，
取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，MK=

1

2

PD=1，…（7分）
又PA⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．
又BC=

1

2

AD=1，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，MQ=

3

，NQ=1，…（10分）
所以V_P-BMQ=V_A-BMQ=V_M-ABQ=

1

3

•

1

2

•AQ•BQ•MK=

1

3

.S△BQM=

2

，…（11分）
则点P到平面BMQ的距离d=

3VP-BMQ

S△BMQ

=

2

2

…（12分）

点评：本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．