Question

19．设f'（x）是函数f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，
设函数g（x）=x³-3x²+4x+2，利用上述探究结果
计算：$g（\frac{1}{10}）+g（\frac{2}{10}）+g（\frac{3}{10}）+…+g（\frac{19}{10}）$=76．

Answer 1

分析 根据函数g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数g（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（1，4），可知g（x）+f（2-x）=8，由此能够求出所给的式子的值．

解答 解：由g（x）=x³-3x²+4x+2，
得：g′（x）=3x²-6x+4，g″（x）=6x-6，
令g″（x）=0，解得：x=1，
∴函数g（x）的对称中心是（1，4），
∴g（2-x）+g（x）=8，
故设$g（\frac{1}{10}）+g（\frac{2}{10}）+g（\frac{3}{10}）+…+g（\frac{19}{10}）$=m，
则g（$\frac{19}{10}$）+g（$\frac{18}{10}$）+g（$\frac{17}{10}$）+…+g（$\frac{1}{10}$）=m，
两式相加得：8×19=2m，解得：m=76，
故答案为：76．

点评 本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于中档题．