Question

9．如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB和△PAC均为边长是$\sqrt{2}$的正三角形，且∠BAC=90°，O为BC的中点．
（Ⅰ）证明：PO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PO⊥BC，PO⊥OA，由此能证明PO⊥平面ABC．
（Ⅱ）由OA，OB，OP为三条两两垂直的直线，建立间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵△PAB和△PAC均为边长是$\sqrt{2}$的正三角形，
∴PB=PC，又∵O为BC的中点，
∴PO⊥BC，①
∵∠BAC=90°，且AB=AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，即BO=CO=AO=1，∴PO=$\sqrt{3}$，
在△POA中，PA=2，PO=$\sqrt{3}$，AO=1，
∴PO⊥OA，②
又∵OA∩BC=O，
由①②③，得PO⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知OA，OB，OP为三条两两垂直的直线，
∴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，1），A（0，1，0），B（1，0，0），C（-1，0，0），
∴$\overrightarrow{PB}=（1，0，-1）$，$\overrightarrow{PA}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
设直线PB与平面PAC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴直线PB与平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．