Question

4．对于函数f（x）=x图象上的任一点M，在函数g（x）=lnx上都存在点N（x₀，y₀），使$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0（O$是坐标原点），则x₀必然在下面哪个区间内？（　　）

• A． $（\frac{1}{e^3}，\frac{1}{e^2}）$
• B． $（\frac{1}{e^2}，\frac{1}{e}）$
• C． $（\frac{1}{e}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$
• D． $（\frac{1}{{\sqrt{e}}}，1）$

Answer 1

分析 问题转化为x₀是函数h（x）=x+lnx的零点，根据函数的零点的判断定理求出x₀的范围即可．

解答 解：由题意得：$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$=-1，
即lnx₀+x₀=0，
即x₀是函数h（x）=x+lnx的零点，
由h（x）在（0，+∞）是连续的递增函数，
且h（$\frac{1}{e}$）=-1+$\frac{1}{e}$＜0，h（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=$\frac{2-\sqrt{e}}{2\sqrt{e}}$＞0，
得h（x）在（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）有零点，
即x₀∈（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{\sqrt{e}}$），
故选：C．

点评 本题考查了函数零点的判断定理，考查对数函数的性质以及转化思想，是一道中档题．