Question

16．在各项为正实数的等差数列{a_n}中，其前2016项的和S₂₀₁₆=1008，则$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$的最小值为（　　）

• A． 12
• B． 16
• C． $\frac{1}{84}$
• D． $\frac{2}{251}$

Answer 1

分析 推导出a₁₀₀₁+a₁₀₁₆=1，从而$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$=（$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{9}{{a}_{1016}}$）（a₁₀₀₁+a₁₀₁₆），由此利用基本不等式能求出$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$的最小值．

解答 解：∵在各项为正实数的等差数列{a_n}中，其前2016项的和S₂₀₁₆=1008，
∴${S}_{2016}=\frac{2016}{2}（{a}_{1}+{a}_{2016}）$=1008（a₁₀₀₁+a₁₀₁₆）=1008，
∴a₁₀₀₁+a₁₀₁₆=1，
∴$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$=（$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{9}{{a}_{1016}}$）（a₁₀₀₁+a₁₀₁₆）=$\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}$+$\frac{9{a}_{1001}}{{a}_{1016}}$+10
≥2$\sqrt{\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}×\frac{9{a}_{1001}}{{a}_{1016}}}$+10=16．
当且仅当$\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}=\frac{9{a}_{1001}}{{a}_{1016}}$时，取等号，
∴$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$的最小值为16．
故选：B．

点评 本题考查等差数列的两项倒数和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、基本不等式的合理运用．