Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（9，x），$\overrightarrow{c}$=（4，y），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$．
（1）求$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$；
（2）求2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$的夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）运用向量共线和垂直的条件，解方程可得x，y，即可得到所求向量；
（2）求得2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$的坐标，运用向量的模的公式和向量数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．

解答 解（1）因为向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（9，x），$\overrightarrow{c}$=（4，y），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$．
所以3x=4×9，12+4y=0，
解得x=12，y=-3，
所以$\overrightarrow{b}$=（9，12），$\overrightarrow{c}$=（4，-3），
（2）2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-3，-4），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=（7，1），
则cosθ=$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）}{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-3×7-4}{\sqrt{9+16}•\sqrt{49+1}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查平面向量共线和向量垂直的条件，以及向量夹角公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．