Question

9．已知函数f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）利用极值点的导函数为零，求出参数的值，再通过单调性验证参数适合题意；
（2）利用导函数值的正负求出函数的单调区间；
（3）求出f（1），f′（1）的值，带入切线方程即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2x-$\frac{{2a}^{2}}{x}$=$\frac{2（x+a）（x-a）}{x}$，
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，解得a=1或a=-1（舍）．
∴a=1．
当a=1时，x∈（0，1），f′（x）＜0；
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
所以a的值为1．
（2）令f′（x）=0，解得x=a或x=-a（舍）．
当x在（0，+∞）内变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由上表知f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
（3）由（1）得：f′（x）=2x-$\frac{{2a}^{2}}{x}$=$\frac{2（x+a）（x-a）}{x}$，
故f（1）=1，f′（1）=2-2a²，
故切线方程是：y-1=（2-2a²）（x-1），
整理得：y=（2-2a²）x-1+2a²．

点评 本题考查的是导函数知识，包括导函数与单调性、导函数与极值，考查切线方程问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力．