Question

12．现有10道题，期中6道难题，4道简单题，张同学从中任选3道题解答．已知所取3道题中有2道难题，1道简单题．设张同学答对每道难题的概率都是$\frac{2}{5}$，答对每道简单题的概率都是$\frac{4}{5}$，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 根据题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，再计算数学期望值．

解答 解：根据题意，X的所有可能取值0、1、2、3，
则$P（x=0）=C_2^0{（\frac{2}{5}）^0}{（\frac{3}{5}）^2}\frac{1}{5}=\frac{9}{125}$，
$P（x=1）=C_2^1{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^1}\frac{1}{5}+C_2^0{（\frac{2}{5}）^0}{（\frac{3}{5}）^2}\frac{4}{5}=\frac{48}{125}$，
$P（x=2）=C_2^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^0}\frac{1}{5}+C_2^1{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^1}\frac{4}{5}=\frac{52}{125}$，
$P（x=3）=C_2^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^0}\frac{4}{5}=\frac{16}{125}$；
所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{9}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{52}{125}$	$\frac{16}{125}$

数学期望为E（X）=0×$\frac{9}{125}$+1×$\frac{48}{125}$+2×$\frac{52}{125}$+3×$\frac{16}{125}$=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．